Grundkurs Mathematik

Begriffsdefinition:
Term „Term“ hört sich nach einem schwierigen Begriff an. Ist er aber nicht. Lassen Sie uns mit Herzen und Dreiecken rechnen! Die Zahl zwei ist ein Term, der Platzhalter ? ist ein Term, aber auch Verbindungen aus Platzhaltern und Rechenzeichen, wie x minus 3 oder ? mal (x – 3) und so weiter sind Terme. Allgemein bezeichnet man in der Mathematik als Terme Zahlzeichen, Zahlenvariable und sinnvolle Verbindungen aus solchen Elementen. Sind in einem Term Variable enthalten, muss angegeben werden, aus welcher Grundmenge die Belegung dieser Variablen gewählt werden darf. Durch die Belegung der Variablen mit Elementen aus dieser Grundmenge erhält der Term einen gewissen Wert. Zu beachten ist aber, dass nicht jede Belegungsmöglichkeit aus der Grundmenge einen Termwert liefern muss. So darf man zum Beispiel bei einem Bruch im Nenner nicht den Wert Null haben!
Bremsweg-Berechnung:
Wir wollen nun den Term-Begriff praktisch anwenden. Dazu berechnen wir den Bremsweg eines Autos. Der Bremsweg ist von der jeweiligen Geschwindigkeit des Fahrzeuges abhängig. Kennen Sie noch aus Ihrer Fahrschule die Faustregeln zur Berechnung des Bremsweges und des Reaktionsweges? Der Bremsweg eines Autos ist v für Geschwindigkeit geteilt durch zehn mal v geteilt durch zehn. Bei einer Geschwindigkeit von 50 Kilometer pro Stunde beträgt er also 25 Meter. Bei v gleich 120 Kilometer pro Stunde ergibt sich ein Bremsweg von 144 Metern. Eine beachtliche Wegstrecke.
Aufstellen eines Terms:
Wie stellt man Terme für einen gegebenen Sachverhalt auf? Das lernen wir anhand eines praktischen Beispiels: Jährlich wird ein Wettkampf im Seilziehen ausgetragen. Es handelt sich dabei um acht bis zwanzig teilnehmende Teams. Da die Anzahl der Teams erst kurz vor Veranstaltungsbeginn bekannt ist, wäre es schön, wenn man einen Term hätte, der uns sofort die Anzahl der Züge ermitteln lässt, wenn jedes Team gegen jedes andere Team ziehen soll.
Termumformungen:
Terme, die durch algebraische Umformungen ineinander übergeführt werden können, heißen gleiche Terme. Die Umformungen laufen immer nach dem gleichen Muster ab. Hierzu ein Beispiel: Gegeben ist der Term T von x gleich 3 mal 6 minus 2 in Klammern minus 2 mal x plus 8 geteilt durch 2. Als erster Schritt werden die Klammern entfernt, hier mit 6 minus 2 ist 4. Danach werden alle Punktrechnungen durchgeführt. Und wir erhalten Term von x gleich 3 mal 4 ist 12 minus 2x plus 8 geteilt durch 2 gibt 4. Und jetzt können gleichnamige Teilterme zusammengefasst werden. Für 12 plus 4 ergibt sich 16 und minus 2x wird abgeschrieben. Der Term ist nun so weit wie möglich vereinfacht. (Text: ARD-alpha)

Pythagoras zeichnet mit seinem Schüler Quadrate in den Sand. Da stellt der Schüler eine Frage, die selbst den großen Meister ins Schleudern bringt. Wer den Grundkurs Mathematik verfolgt, kennt die Antwort. (Text: ARD-alpha)

Das kann jedem passieren: Man will bei seinem Schatz fensterln und dann ist die Leiter zu kurz! Wer in dieser misslichen Lage den Satz des Pythagoras beherrscht, steht nicht ganz so dumm da. Warum? Das zeigt diese Folge von „Grundkurs Mathematik“. (Text: ARD-alpha)

Das kartesische Koordinatensystem:
Bei der Lage von Punkten denken wir sofort an ein Koordinatensystem. Und in der Schulmathematik meistens an ein kartesisches Koordinatensystem. Es besteht aus einer Rechtswertachse, die üblicherweise als x-Achse bezeichnet wird, und aus einer Hochwertachse, als y-Achse bezeichnet. Die beiden Achsen teilen die Ebene in vier Quadranten, die gegen den Uhrzeigersinn angeordnet sind. Jeder Punkt in der Ebene kann über die Angabe von zwei Achsenwerten, also einem x-Wert und einem dazugehörigen y-Wert, angegeben werden. Nehmen wir den Punkt P mit den Koordinaten drei und vier: Er befindet sich im ersten Quadranten des Koordinatensystems. Der Punkt Q soll die Koordinaten minus vier und drei haben. Also vier auf der x-Achse nach links und dann drei in y-Achsenrichtung nach oben – ein Punkt im zweiten Quadranten.
Erstes Bestimmungsmerkmal: die Längeneinheiten:
Könnte man die Lage der beiden Punkte auch mit anderen Angaben fixieren? Dazu löschen wir die Einheiten und die Achsenbezeichnungen aus unserem System und lassen nur noch die Punkte P und Q mit dem Achsenkreuz stehen. Verbindet man die Punkte vom Achsenschnittpunkt Null aus, kann man erkennen, dass beide Punkte gleich weit vom Achsenschnittpunkt, sprich unserem Koordinatenursprung, entfernt liegen. In unserem Falle fünf Längeneinheiten. Alle Punkte, die vom Koordinatenursprung fünf Längeneinheiten entfernt sind, liegen auf einem Kreisbogen um den Koordinatenursprung mit dem Radius fünf Längeneinheiten. Wie finde ich dann aber die Lage meiner Punkte P und Q? Es muss noch ein zweites Bestimmungsmerkmal gefunden werden.
Zweites Bestimmungsmerkmal: der Winkel:
Das zweite Merkmal ist der Winkel, den die Verbindungsstrecke mit der waagerechten Achse (x-Achse) einschließt. Die Achsen bilden die Winkel 0 Grad, 90 Grad, 180 Grad und 270 Grad. Die 0 Grad-Achse bildet dabei den ersten Schenkel des Winkels. Er schließt mit dem zweiten Schenkel 0P einen Winkel von 53,13 Grad ein. Bis zum zweiten Schenkel OQ beträgt das Winkelmaß 143,13 Grad. Man hätte also die Lage der Punkte P und Q auch mit den Angaben 5 und 53,13 Grad für P und 5 und 143,13 Grad für Q angeben können. Wir haben somit eine zweite Art für die Festlegung von Punkten in einem Koordinatensystem gefunden. Es ist die Angabe der Polarkoordinaten. (Text: ARD-alpha)